Задачи на взвешивание. Готовимся к олимпиаде по математике

Задачи на взвешивание достаточно часто встречаются на олимпиадах по математике как в начальной школе, так и в более старших классах.

Рассмотрим несколько задач с объяснениями как их нужно решать.

Вот эти весы:

 

Задача 1.

С помощью одного взвешивания на чашечных весах без гирь из 3 одинаковых по виду монет найди одну фальшивую, если известно, что она легче остальных.

Решение:

Кладем на каждую чашу весов по одной монете. Если весы оказались в равновесии, то оставшаяся монета фальшивая. Если весы не в равновесии, то фальшивая монета на чаше, которая будет выше.

Задача 2.

С помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь из 9 одинаковых по виду монет найди одну фальшивую, если известно, что она легче остальных.

Решение:

Разобьем все 9 монет на группы по 3 монеты в каждой группе. Первым взвешиванием узнаем, в какой группе находится фальшивая монета. Для этого кладем на одну чашу весов монеты первой группы, а на другую — монеты второй группы. Если весы оказались в равновесии, то фальшивая монета осталась в третьей группе. Если же весы оказались не в равновесии, то фальшивая монета оказалась в той группе, которая легче.

В любом случае задача свелась к решению задачи 1. Вторым взвешиванием находим из трех монет фальшивую, если известно, что она легче остальных.

Задача 3.

Среди четырех монет достоинством в 1 копейку (массой 1 г), 2 копейки (массой 2 г), 3 копейки (массой 3 г) и 5 копеек (массой 5 г) есть одна бракованная, отличающаяся массой от нормальной. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить бракованную монету?

Решение:

 

Для первого взвешивания на одну чашку кладем монету в 1 копейку и монету 2 копейки.

На вторую чашу кладем монету 3 копейки.

Рассуждаем.

Может быть несколько вариантов:

1 вариант - чаши весов в равновесии. Следовательно монеты в 1, 2 и 3 копейки не бракованные, так как 1 г + 2 г = 3 г

Можно сделать вывод, бракованной является монета 5 копеек.

Для определения бракованной в этом случае хватило одного взвешивания.

2 вариант - одна из чаш перевесила другую. Следовательно, бракованная монета среди этих трех, а пятикопеечная монета нормальная.

Задача сводится к тому, что нужно найти бракованную монету из трех.

Здесь может быть два подварианта:

- монеты 1 и 2 тяжелее монеты 3,

- монеты 1 и 2 легче монеты 3.

Рассуждения одинаковы для обоих вариантов. Просто для удобства возьмем первый подвариант и запомним, что монеты 1 и 2 тяжелее монеты 3.

Второе взвешивание

Для второго взвешивания кладем на одну чашку весов монеты достоинством 2 и 3 копейки. На вторую чашу весов - монету 5 копеек.

В этом взвешивании могут быть три положения чашеек весов. Рассмотрим их.

 

1 вариант

Чаши весов все так же в равновесии.

Это означает, что монеты не бракованные.

В предыдущем взвешивании мы выяснили, что монета 5 копеек нормальная.

2 г + 3 г = 5 г

Поэтому монеты достоинством в 2 и 3 копейки тоже нормальные.

Вывод - бракованная монета это 1 копейка.

2 вариант

 

Чаша весов с двумя монетами опустилась вниз.

Так как чаша весов не в равновесии, монета в 1 копейку нормальная.

Выбор между копейками 2 и 3.

В первом взвешивании мы получили, что монеты 1 и 2 тяжелее монеты 3.

Монета 1 копейка нормальная.

Может быть вариант, что 2 копейки нормальные, а 3 копейки бракованные (легче).

Но 2 и 3 тяжелее чем 5. Чего не может быть, если 3 копейки легче нужного веса.

Следовательно, бракованная монета - 2 копейки.

3 вариант

 Чаша весов с двумя монетами поднялась вверх.

По аналогии с предыдущим вариантом - 1 копейка нормальная.

При первом взвешивании 3 копейки оказались легче, чем 1 и 2 вместе.

В этом варианте 2 и 3 легче, чем 5 копеек.

Вывод - бракованная монета в 3 копейки.

Если рассмотреть после первого взвешивания второй подвариант, рассужления будут абслолютно аналогичными.

Коротко рассуждения показаны в схемах.

  

 

---

Уважаемые читатели!

Все материалы с сайта можно скачивать абсолютно бесплатно. Все материалы проверены антивирусом и не содержат скрытых скриптов.

Материалы в архиве не помечены водяными знаками!

Если материал нарушает чьи-то авторские права, просьба написать нам по обратной связи, указав авторство материала. Мы обязуемся либо убрать материал, либо указать прямую ссылку на автора.

Сайт пополняется материалами на основе бесплатной работы авторов. Eсли вы хотите отблагодарить их за работу и поддержать наш проект, вы можете перевести любую, не обременительную для вас сумму на счет сайта.
Заранее Вам спасибо!!!